การเคลื่อนที่แบบหมุน ( Rotational motion )
จากการศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ผ่านมาพบว่ามีหลายลักษณะเช่นการเคลื่อนที่แบบเลื่อนตำแหน่งการเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง การเคลื่อนที่ในแนวเส้นโค้ง ( โพรเจกไทล์ วงกลม ) แต่ยังมีการเคลื่อนที่ในธรรมชาติอีกแบบหนึ่ง เช่น การเคลื่อนที่ของลูกข่าง พัดลม ล้อรถ ลูกฟุตบอล ลูกปิงปอง เป็นต้น พบว่าวัตถุดังกล่าวมีการกมุนอยู่กับที่รอบแกนคงตัว หรืออาจจะหมุนรอบศูนย์กลางมวล เรียกว่าวัตถุมีการเคลื่อนที่แบบหมุน และบางครั้งวัตถุก็อาจหมุนไปด้วย และเลื่อนตำแหน่งไปด้วย ก็นับว่าเป็นการเคลื่อนที่แบบหมุน ( Rotational motion ) ในหัวข้อนี้ ต้องการให้รู้จักปริมาณต่างๆของการเคลื่อนที่แบบหมุนอย่างง่ายๆ เท่านั้น ถ้าจะศึกษาให้ละเอียดลึกซึ้งต้องศึกษาในระดับอุดมศึกษาต่อไป
1. อัตราเร็วเชิงมุม ( angular speed )
อัตราเร็วเชิงมุม ( w ) ในที่นี้จะหมายถึงค่าอัตราเร็วเชิงมุมขณะใดขณะหนึ่งหรือค่าอัตราเร็วเชิงมุมเฉลี่ยของการเคลื่อนที่ในช่วงเวลาสั้นๆ โดยหาได้จากสมการ
w =
เมื่อ w คืออัตราเร็วเชิงมุมของวัตถุที่หมุนรอบแกนหมุน มีหน่วยเป็น เรเดียน / วินาที
Dq คือมุมที่วัตถุกวาดไปในช่วงเวลาสั้น Dt
อัตราเร็วเชิงมุม ( w ) ในที่นี้จะหมายถึงค่าอัตราเร็วเชิงมุมขณะใดขณะหนึ่งหรือค่าอัตราเร็วเชิงมุมเฉลี่ยของการเคลื่อนที่ในช่วงเวลาสั้นๆ โดยหาได้จากสมการ
หาทิศทางของการกระจัดเชิงมุม ( ) หาได้จากการใช้มือขวากำรอบแกนหมุนให้นิ้วทั้งสี่ ( ชี้กลางนางก้อย ) ชี้วนไปทางเดียวกับทิศทางการหมุนนิ้วหัวแม่มือทาบไปตามแกนหมุนจะได้ว่าทิศของการกระจัดเชิงมุม ( ) จะชี้ตามแนวชี้หัวแม่มือดังรูป 2.
จากรูป 2 ความเร็วเชิงมุม ( ) เป็นปริมาณเวกเตอร์จะมีทิศทางเดียวกับ หน่วยของความเร็วเชิงมุมเป็นเรเดียน / วินาที ( rad /s )ถ้าการความเร็วเชิงมุมเปลี่ยนไป จาก 2 เป็น 8 rad / s เนื่องจาก ทอร์ก ในเวลา 2 วินาที จะเป็นผลให้มีความเร่งเชิงมุมเป็น…
กี่เรดียน / วินาทีความเร่งเชิงมุม ( ) หมายถึงความเร็วเชิงมุมที่เปลี่ยนไปในเวลาหนึ่งหน่วย เป็นปริมาณเวกเตอร์ ซึ่งเขียนเป็นสมการได้ว่า
เมื่อ คือ ความเร่งเชิงมุม มีหน่วยเป็น เรเดียน / วินาที2จาก = จะเห็นว่า ความเร็วเชิงมุมขึ้นอยู่กับมุมที่เปลี่ยนไป ในช่วงเวลา Dt เมื่อ มวลย่อยๆ ของวัตถุที่กำลังหมุน มีหมุนเปลี่ยนไปเท่ากัน ก็จะมีความเร็วเชิงมุมเท่ากันในการหมุนของวัตถุรอบแกนหมุนคงตัวเมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ของมวลย่อยแต่ละก้อนของวัตถุจะมีการเคลื่อนที่แบบวงกลม จะได้ที่มวลย่อยๆ แต่ละก้อนของวัตถุที่กำลังหมุนจะมีความเร็วเชิงมุม ในการหมุนเท่าๆกัน
ตัวอย่างที่ 1 วัตถุก้อนหนึ่งหมุนรอบตัวเองด้วยความเร็วเชิงมุม 5 เรเดียน เมื่อเร่งให้แรงคู่ควบกระทำทางเดียวกับการหมุนปรากฏว่าวัตถุก้อนนั้นมีความเร่งเชิงมุม 2 เรเดียน / วินาที2 จงหาว่าถ้าให้แรงคู่ควบกระทำนาน 10 วินาที ความเร็วเชิงมุมของวัตถุเป็นเท่าใด แลเมื่อครบ 10 วินาที แล้วนำแรงคู่ควบนั้นออกวัตถุจะเคลื่อนที่อย่างไร= 5 + 2 (10)
\ w = 25 rad / s
เมื่อนำแรงคู่ควบออก จะได้ a = 0 และได้ว่า w จะคงตัว
การเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุนี้ มีความเร็วเชิงมุมเพิ่มขึ้นจาก 5 เป็น 25 rad /s ใน 10 วินาทีแรก หลังจากนั้นจะหมุนด้วยความเร็วเชิงมุมคงตัว 25 rad / s ตลอด…ดังนั้น ความเร็วเชิงมุมมีค่า 25 เรเดียนต่อวินาที และเมื่อนำแรงคู่ควบออกไป วัตถุจะหมุนด้วยความเร็วเชิงมุมคงตัว 25 เรเดียนต่อวินาที
รูป 3. ข แสดงการหาทิศของทอร์กจากความรู้เดิมในเรื่องของโมเมนต์ เมื่อออกแรงกระทำต่อวัตถุและแนวแรงไม่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลหรือแกนหมุน ผลที่เกิดขึ้น จะมีการหมุนเกิดขึ้น ซึ่งเรียกว่าเกิดโมเมนต์ของแรงรอบจุดหมุนนั้น เรียกว่า ทอร์ก โดยทอร์กเป็นปริมาณเวกเตอร์ มีขนาดเท่ากับ แรงคูณระยะทางที่ลากจากจุดหมุนมาตั้งฉากกับแนวแรงและทิศทางของทอร์กมีทิศตั้งฉากกับระนาบการหมุนดังรูป 3.
จากรูป 3. การหาทิศทางของทอร์ก โดยใช้มือขวาในลักษณะนิ้วชี้ นิวกลาง และนิ้วหัวแม่มือ ตั้งฉากซึ่งกันและกัน แล้ววางนิ้วชี้ไปทางทิศของแรง ( ) นิ้วกลางชี้ตามแนวรัศมี ( ) พุ่งเข้าหาจุดหมุน จะได้ว่า นิ้วหัวแม่มือชี้ทิศทางของทอร์ก ( ) ดังรูป 3.ขจากรูป4. มีลูกตุ้ม 2 ลูกติดกับคาน แล้วผูกด้วยเชือก แขวนไว้ รูป 2 ก. อยู่นิ่ง จะไม่มีทอร์กเกิดขึ้น เพราะ =0 ส่วน รูป 4 ข. เมื่อมีแรงมากระทำให้เกิดการหมุน จะมี ทอร์กเกิดขึ้น ผล จะทำให้เชือกเส้นนี้ขาดได้ นักเรียน สามารถนำการแสดงหาทิศของทอร์ก จากรูป 3. มาอธิบายได้หรือไม่…อธิบาย
จากรูป4. ลูกตุ้มติดกับคาน แขวนไว้ด้วยเชือก
ก. อยู่นิ่ง
ข. หมุนตามทิศลูกศรดังนั้น อาจกล่าวสรุปได้ว่า การเคลื่อนที่แบบหมุน จะเกิดการหมุนในลักษณะที่เกิด ทอร์ก ( ) เมื่อมีทอร์กที่ไม่เป็นศูนย์มากระทำ ( โมเมนต์ตามเข็มนาฬิกา ไม่เท่ากับ โมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกา ; ¹0 )
การหาทอร์ก
ในการศึกษาเรื่องการหมุนของวัตถุเมื่อมีทอร์กที่ไม่เป็นศูนย์มากระทำ ผลที่เกิดขึ้นวัตถุจะหมุนในลักษณะการเปลี่ยนสภาพการหมุนที่มีความเร่งเชิงมุม ตามทิศของทอร์ก ลักษณะเดียวกับการขันน็อตและคาย น็อต
ในที่นี้เราจะเริ่มศึกษาหา ทอร์ก ที่เกิดขึ้นจากการหมุนแบบง่ายๆ เช่น เมื่อมีมวล m ติดอยู่กับปลายแท่งวัตถุเล็กๆเบาๆ ยาว r โดยปลายอีกข้างหนึ่งตรึงอยู่กับจุด O บนพื้นซึ่งปราศจากแรงเสียดทาน เมื่อมีแรง F มากระทำต่อมวล m ในทิศตั้งฉากกับแท่งวัตถุเล็กๆ ตลอดเวลา โดยแนวแรง F สัมผัสกับแนววงกลมหรือตั้งฉากกับรัศมี r ดังรูป 5.
รูป 5. แสดงแรงกระทำต่อวัตถุทำให้เกิดทอร์ก
จากกฎการเคลื่อนที่ข้อ 2 ของนิวตัน มวล m จะเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง ซึ่งมีทิศทางเดียวกับแรงคือมีทิศสัมผัสวงกลมตลอดเวลา ได้ว่า
F = ma หรือ F. r = ma.r ……………………………. ( 1 )
ถ้าภายในช่วงเวลาสั้นๆ Dt ขนาดของความเร็วในแนวสัมผัสเปลี่ยนไป Dv และขนาดของความเร็วเชิงมุมเปลี่ยนไป Dw จะได้ว่า
Dv = rDw เมื่อ ( v = wr )
หรือ = r
ดังนั้น a = ra
แทนค่า a ใน ( 1 ) จะได้ว่า
F.r = mr2.a ……………………………. ( 2 )
จากนิยามของ ทอร์ก ( t ) , t = F.r
ได้ว่า t = mr2.a
จากสมการ t = mr2.a แสดงว่า ทอร์ก(t) ทำให้วัตถุหมุนด้วยความเร่งเชิงมุมค่าหนึ่ง ความเร่งเชิงมุม (a ) จะมีค่ามากหรือน้อย นอกจากขึ้นอยู่กับทอร์ก (t) แล้ว ยังขึ้นอยู่กับค่ามวลของวัตถุ และระยะห่างของมวลจากจุดหมุน ( r ) ด้วย หรือกล่าวว่าขึ้นอยู่กับ mr2 ดังสมการ 
แสดงว่าเมื่อใช้ทอร์กค่าหนึ่งกระทำต่อวัตถุ ถ้าวัตถุมีค่า mr2 มากจะหมุน โดยมีความเร่งเชิงมุม (a ) น้อย ค่า mr2 จึงบอกถึงสมบัติต้านการเปลี่ยนแปลงสภาพการหมุนหรือความเฉื่อยของการหมุนของวัตถุ ซึ่งเรียกว่า โมเมนต์ความเฉื่อย ( I ; Moment of inertia ) จึงได้ว่า
โมเมนต์ความเฉื่อย เป็นปริมาณสเกลาร์ มีหน่วยเป็น กิโลกรัมเมตรยกกำลังสอง ( kg.m2 )ดังนั้นค่าของทอร์ก (t) อาจเขียนใหม่ได้ว่า
จากสมการที่ได้พบว่า ทอร์ก (t) และ ความเร่งเชิงมุม ( a ) มีทิศทางเดียวกันจากการศึกษาในขั้นสูงขึ้นต่อไปพบว่า ค่าโมเมนต์ความเฉื่อยขึ้นอยู่กับมวลและการกระจายของมวล และที่สำคัญอย่างยิ่งคือแกนหมุน ดังนั้น การบอกค่าโมเมนต์ความเฉื่อยต้องบอกด้วยว่าหมุนรอบแกนใด
รูป 6. การหมุนรอบแกนของท่อโลหะ
แกนหมุน 1
แกนหมุน 2จากการทดลองวัตถุเดียวกัน ถ้าแกนหมุนต่างกันค่าโมเมนต์ความเฉื่อยจะมีค่าต่างกันด้วย ดังรูป 6.
พิจารณาการเปลี่ยนสภาพการเลื่อนตำแหน่ง และ การเปลี่ยนสภาพการหมุนการเปลี่ยนสภาพการเลื่อนตำแหน่ง
จากกฎการเคลื่อนที่ข้อ 2 ของนิวตัน F = ma จะได้ a =
1. a a F
หมายความว่า การเปลี่ยนสภาพการเลื่อนตำแหน่ง จะขึ้นอยู่กับ แรง แบบแปรผันตรง คือ เมื่อมวลของวัตถุคงตัว ถ้าแรงที่มากระทำต่อวัตถุมีค่ามาก ผล จะทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงสภาพการเลื่อนตำแหน่งได้มาก และ ถ้าแรงที่มากระทำต่อวัตถุมีค่าน้อย ผล จะทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงสภาพการเลื่อนตำแหน่งได้น้อย
2. a a
หมายความว่า การเปลี่ยนสภาพการเลื่อนตำแหน่ง จะขึ้นอยู่กับ มวล แบบแปรผกผัน คือ เมื่อมีแรง คงตัวกระทำต่อวัตถุ ถ้าวัตถุมีมวลมาก ผล จะทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงสภาพการเลื่อนตำแหน่งได้น้อย และ ถ้าวัตถุมีมวลน้อย ผล จะทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงสภาพการเลื่อนตำแหน่งได้มาก
การเปลี่ยนสภาพการหมุน
จากสภาพการหมุนของวัตถุใดๆ t = Ia จะได้ a =
1. a แปรผันกับ t
หมายความว่า การเปลี่ยนสภาพการหมุน ( ความเร่งเชิงมุม ) จะขึ้นอยู่กับ ทอร์ก (t ) แบบแปรผันตรง คือ เมื่อโมเมนต์ความเฉื่อย( I ) ของวัตถุคงตัว ถ้าทอร์ก (t ) ที่มากระทำต่อวัตถุมีค่ามาก ผล จะทำให้เกิดการเปลี่ยนสภาพการหมุน ( ความเร่งเชิงมุม ) ได้มาก ถ้าทอร์ก (t ) ที่มากระทำต่อวัตถุมีค่าน้อย ผล จะทำให้เกิดการเปลี่ยนสภาพการหมุน ( ความเร่งเชิงมุม )ได้น้อย
2. a แปรผันกับ
นักเรียน คิดว่า สมการ การเคลื่อนที่แบบเลื่อนตำแหน่ง และ สมการการเคลื่อนที่แบบหมุน มีส่วนคล้ายกัน อย่างไรบ้าง…หมายความว่า การเปลี่ยนสภาพการหมุน ( ความเร่งเชิงมุม ) จะขึ้นอยู่กับ โมเมนต์ความเฉื่อย( I ) ของวัตถุ แบบแปรผกผัน คือ เมื่อทอร์ก (t ) ของวัตถุคงตัว ถ้าโมเมนต์ความเฉื่อย( I ) ของวัตถุ มีค่ามาก ผล จะทำให้เกิดการเปลี่ยนสภาพการหมุน ( ความเร่งเชิงมุม ) ได้น้อย ถ้าโมเมนต์ความเฉื่อย( I ) ของวัตถุ มีค่าน้อย ผล จะทำให้เกิดการเปลี่ยนสภาพการหมุน ( ความเร่งเชิงมุม ) ได้มาก
โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุรูปต่างๆ รอบแกนสมมาตร
การหมุนของวัตถุทั้งหมดในตารางข้างบนเป็นการหมุนรอบแกนผ่านจุดศูนย์กลางมวล และเป็นแกนสมมาตรของวัตถุ มีหลักที่สามารถพิสูจน์ได้อยู่ว่า ถ้าเลื่อนแกนหมุนไปเป็นระยะ L ให้ขนานแกนสมมาตรเดิม โมเมนต์ความเฉื่อยจะเพิ่มขึ้นเท่ากับ mL2 ( ต้องนำค่า mL2 มาบวกค่าในตาราง )ตัวอย่างที่ 1 ระบบล้อกับเพลาประกอบด้วยล้อมวล M1 รัศมี R ยึดติดกับเพลามวล M2 รัศมี r ถ้าถ่วงน้ำหนักของมวล m ที่เชือกพันรอบเพลา ดังแผนภาพ ความเร่งเชิงมุมของล้อและเพลาจะเป็นเท่าใด
วิธีทำ โมเมนต์ความเฉื่อยของล้อและเพลารอบแกนหมุนคือ
I = M1 R2 + M2 r2
ให้ T เป็นความตึงของเส้นเชือก
เราจะมีสมการการเคลื่อนที่สองสมการคือ
สมการการเคลื่อนที่เชิงเส้นของมวล m ; SF = ma
mg – T = ma ……. ( 1 )
และสมการการเคลื่อนที่แบบหมุนของล้อและเพลา ; t = Tr , t = Ia
จะได้ Tr = Ia ……. ( 2 )
จากสมการ ( 1 ) จะได้ T = mg – ma และนำไปแทนค่า T ในสมการ ( 2 )
แล้วอาศัยความสัมพันธ์ a =ar จะหาค่า a ได้คือ
(mg – ma)r = Ia
a =
ซึ่งสามารถหาค่าได้จาก I = M1 R2 + M2 r2
คำตอบ ความเร่งเชิงมุมของล้อและเพลาจะมีค่าเท่ากับ a =
โดยที่ I = M1 R2 + M2 r2
ตัวอย่างที่ 2 ทรงกระบอกกลวงบาง มวล m รัศมี R กลิ้งลงตามพื้นเอียงทำมุม q กับระนาบระดับ โดยไม่มีการไถล จุดศูนย์กลางมวลของทรงกระบอกจะมีความเร่งเท่าใด
q
mg
N
fวิธีทำ เนื่องจากมวลจากทุกส่วนของทรงกระบอกกลวงบางจะอยู่ห่างจากแกนหมุนซึ่งผ่านจุดศูนย์กลางมวลเท่ากันทั้งหมดและเท่ากับค่ารัศมี R 
ดังนั้นค่าโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกระบอกกลวงรอบแกนหมุนดังกล่าว คือ I = mR2
แรงที่กระทำต่อทรงกระบอกกลวงมีดังแสดงในรูป
น้ำหนักของทรงกระบอกซึ่งกระทำที่จุดศูนย์กลางมวลสามารถคิดแยกเป็นสององค์ประกอบในแนวที่ขนานกับพื้นเอียง ( ลง = mgsinq ) และในแนวตั้งฉากกับพื้นเอียง (mgcosq) จึงสามารถเขียนสมการได้สองสมการ คือ
การเคลื่อนที่เชิงเส้นของ C.M. ตามสมการ mgsinq - f = ma …………….( 1 )
การหมุนรอบแกนผ่าน C.M. ตามสมการ t = fr , t = Ia …………….( 2 )
นำค่า f จากสมการ ( 2 ) ไปแทนใน ( 1 ) และอาศัยความสัมพันธ์ a =ar สำหรับการกลิ้งโดยไม่ไถล จะหาค่า a ได้คือ
mgsinq - = ma แล้วแทนค่า I
จะได้ a = gsinq
คำตอบ จุดศูนย์กลางมวลของทรงกระบอกจะมีความเร่งลงตามพื้นเอียงเท่ากับ 
พลังงานจลน์ของการหมุน
รูป 7. แผ่นกลมในระนาบ XY หมุนรอบแกน Z ด้วยอัตราเร็วเชิงมุม w
q 
Z
Y
Xในการหมุน เช่น การหมุนของวัตถุรูปแผ่นกลมรอบแกนๆหนึ่ง ดังรูป 7. ทุกส่วนของวัตถุย่อมเคลื่อนที่เป็นวงกลม วนรอบแกนหมุนด้วยความเร็วเชิงมุมค่าเดียวกัน (w = ) เพราะมุมเปลี่ยนไปเท่ากัน แต่อัตราเร็วเชิงเส้น ( v = wr ) ซึ่งอยู่ในแนวเส้นตั้งฉากกับรัศมีไม่เท่ากัน เพราะ จะขึ้นกับระยะทางที่ส่วนนั้นๆห่างจากแกนหมุน
จากการศึกษาเรื่องพลังงานจลน์ เราทราบแล้วว่า วัตถุมวล m ที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v จะมีพลังงานจลน์ Ek ซึ่ง Ek = mv2
สำหรับวัตถุที่มีการหมุน ถ้าเราพิจารณามวลย่อยที่ประกอบขึ้นเป็นวัตถุ แต่ละมวลย่อยมีการเคลื่อนที่ด้วยความเร็วต่างๆกันขึ้นอยู่กับระยะทางที่มวลย่อยอยู่ห่างจากแกนหมุน นั่นคือ แต่ละมวลย่อยมีพลังงานจลน์ต่างๆกัน พลังงานจลน์รวมของทุกๆมวลย่อยที่ประกอบขึ้นเป็นวัตถุนั้น จะเป็นพลังงานจลน์ของวัตถุเนื่องจากการหมุน ซึ่งหาได้ดังนี้
ให้ vi เป็นความเร็วของมวลย่อย mi
เนื่องจากแต่ละมวลย่อยต่างเคลื่อนที่หมุนไปกับวัตถุ นั่นคือ ทุกมวลย่อยมีการเคลื่อนที่ในแนววงกลมด้วยความเร็วเขิงมุมเท่ากันเท่ากับความเร็วเชิงมุมของวัตถุ
โดยใช้ความสัมพันธ์ v = w r วัตถุประกอบด้วยมวลย่อยๆ
จะได้ v1 = w r1 และ vi = w ri
เมื่อ ri เป็นระยะห่างจากแกนหมุนของมวล mi ดังนั้นจะเขียน Ek ได้ใหม่เป็น
นั่นคือ
